7.일원분류 분산분석(One way ANOVA)

목차

0.데이터 불러오기

1.일원분류 분산분석이란

2.전제조건

3.One-way ANOVA test

4.다중비교

5.비모수일때

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0.데이터 불러오기

data(PlantGrowth)

str(PlantGrowth)

## 'data.frame':    30 obs. of  2 variables:
##  $ weight: num  4.17 5.58 5.18 6.11 4.5 4.61 5.17 4.53 5.33 5.14 ...
##  $ group : Factor w/ 3 levels "ctrl","trt1",..: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ...

levels(PlantGrowth$group)

## [1] "ctrl" "trt1" "trt2"

R에 있는 기본 데이터셋인 PlantGrowth를 불러온다.

2개의 변수와 60개의 관측치가 있다.

group에는 3가지 요인(ctrl, trt1, trt2)이 있다.

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1.일원분류 분산분석이란

#분산분석
두 개의 집단의 평균의 비교할때, T-test를 사용했다.

분산분석은 3개 이상의 집단의 평균을 비교할때 사용한다.

여기서 말하는 집단은 독립변수의 요인 개수이다.

그리고 종속변수의 집단에 따라 분산분석이 나뉘어 진다.

일원분류 분산분석이란,

종속변수(한 개 집단) ~ 독립변수(3개 이상 집단) 일때, 평균을 비교하는 기법이다.

boxplot(weight ~ group, 
        data=PlantGrowth,
        frame = FALSE, 
        col = c("#00AFBB", "#E7B800","tomato"),
        ylab="Tooth Length")

boxplot으로 나타내면 위와 같이 구성되어 있다.

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2.전제조건

분산분석을 사용하기 위해서는 독립성, 등분산성, 독립성을 만족해야 한다.

정규성

str(PlantGrowth)

## 'data.frame':    30 obs. of  2 variables:
##  $ weight: num  4.17 5.58 5.18 6.11 4.5 4.61 5.17 4.53 5.33 5.14 ...
##  $ group : Factor w/ 3 levels "ctrl","trt1",..: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ...

with(data = PlantGrowth,shapiro.test(weight[group=="ctrl"]))

## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  weight[group == "ctrl"]
## W = 0.95668, p-value = 0.7475

with(data = PlantGrowth,shapiro.test(weight[group=="trt1"]))

## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  weight[group == "trt1"]
## W = 0.93041, p-value = 0.4519

with(data = PlantGrowth,shapiro.test(weight[group=="trt2"]))

## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  weight[group == "trt2"]
## W = 0.94101, p-value = 0.5643

표본이 충분하기 때문에(30개 이상) clt와 대수의 법칙에 따라 정규성이 있다.

이전에 배운 정규성 검정을 연습해보았을때,

3개의 집단 모두 유의하기 때문에 정규성이 있다.

등분산성

bartlett.test(weight~group, data = PlantGrowth)

## 
##  Bartlett test of homogeneity of variances
## 
## data:  weight by group
## Bartlett's K-squared = 2.8786, df = 2, p-value = 0.2371

library(car)
leveneTest(weight~group, data = PlantGrowth)

## Levene's Test for Homogeneity of Variance (center = median)
##       Df F value Pr(>F)
## group  2  1.1192 0.3412
##       27

모수적 방법을 이용한다.

두 가지 모두 사용해 본다. 둘 다 p값이 유의하지 않기 때문에 등분산성이 있다.

독립성

ctrl <- with(data = PlantGrowth, weight[group=="ctrl"])

trt1 <- with(data = PlantGrowth, weight[group=="trt1"])

trt2 <- with(data = PlantGrowth, weight[group=="trt2"])

cov(ctrl, trt1)

## [1] -0.2118022

cov(ctrl, trt2)

## [1] -0.1206244

cov(trt1, trt2)

## [1] -0.04887333

3개의 집단을 두 개씩 독립성 검정을 했을때, 공분산이 거의 0에 가깝다.

따라서, 서로 독립적이다.

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3.One-way ANOVA test

귀무가설 : 모든 평균들은 다 같다.

대체가설 : 평균들이 모두 같지는 않다. (’평균들이 모두 다르다’가 아니다.)

plant.aov <- aov(weight~group, data = PlantGrowth)

summary(plant.aov)

##             Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)  
## group        2  3.766  1.8832   4.846 0.0159 *
## Residuals   27 10.492  0.3886                 
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

p값이 유의수준보다 작기 때문에 통계적으로 유의하다.

따라서, 3개의 집단의 평균들은 모두 같지는 않다.

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4.다중비교

3개의 집단 평균들이 모두 같지 않다는 것은 알았다.

하지만 어떤 집단이 다르며, 어떠한 차이가 있는지 알 수 없었다.

그 내용을 다중비교를 통해 알 수 있다.(3가지 방법)

TukeyHSD

TukeyHSD(plant.aov)

##   Tukey multiple comparisons of means
##     95% family-wise confidence level
## 
## Fit: aov(formula = weight ~ group, data = PlantGrowth)
## 
## $group
##             diff        lwr       upr     p adj
## trt1-ctrl -0.371 -1.0622161 0.3202161 0.3908711
## trt2-ctrl  0.494 -0.1972161 1.1852161 0.1979960
## trt2-trt1  0.865  0.1737839 1.5562161 0.0120064

TukeyHSD 함수는 두 개씩 짝을 지어 비교를 해준다.

p adj를 보면 trt2와 trt1이 유의수준(0.05)보다 작아 통계적으로 유의하다.

따라서, trt2와 trt1에서 평균의 차이가 있다고 해석한다.

-diff: 두 집단의 평균 차이
-lwr, upr: 95% 신뢰구간에서 하한값과 상한값
-p adj: 조정된 p값

glht

glht() : 일반화된 선형 가설 검정에 쓰임

glht(model, lincft)
linfct : linear, 함수가 지정되어야 함

library(multcomp)

summary(glht(plant.aov, linfct = mcp(group="Tukey")))

## 
##   Simultaneous Tests for General Linear Hypotheses
## 
## Multiple Comparisons of Means: Tukey Contrasts
## 
## 
## Fit: aov(formula = weight ~ group, data = PlantGrowth)
## 
## Linear Hypotheses:
##                  Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)  
## trt1 - ctrl == 0  -0.3710     0.2788  -1.331    0.391  
## trt2 - ctrl == 0   0.4940     0.2788   1.772    0.198  
## trt2 - trt1 == 0   0.8650     0.2788   3.103    0.012 *
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## (Adjusted p values reported -- single-step method)

TukeyHSD와 같은 결과이다.

mcp: group을 만드는 함수로 Tukey 함수를 쓰겠다.

pairwise.t.test

pairwise.t.test(PlantGrowth$weight, PlantGrowth$group, p.adjust.method = "BH")

## 
##  Pairwise comparisons using t tests with pooled SD 
## 
## data:  PlantGrowth$weight and PlantGrowth$group 
## 
##      ctrl  trt1 
## trt1 0.194 -    
## trt2 0.132 0.013
## 
## P value adjustment method: BH

결과를 교차표로 만들어 준다.

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5.비모수일때

만약 표본이 작거나 정규성을 따르지 않을때

kruskal.test 함수를 사용한다.

kruskal.test(weight ~ group, data = PlantGrowth)

## 
##  Kruskal-Wallis rank sum test
## 
## data:  weight by group
## Kruskal-Wallis chi-squared = 7.9882, df = 2, p-value = 0.01842