8.이원분류 분산분석(Two way ANOVA)

목차

0.데이터 불러오기

1.이원분류 분산분석이란

2.전제조건

3.Two-way ANOVA test

4.다중비교

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0.데이터 불러오기

data(ToothGrowth)

str(ToothGrowth)

## 'data.frame':    60 obs. of  3 variables:
##  $ len : num  4.2 11.5 7.3 5.8 6.4 10 11.2 11.2 5.2 7 ...
##  $ supp: Factor w/ 2 levels "OJ","VC": 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ...
##  $ dose: num  0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 ...

levels(ToothGrowth$supp)

## [1] "OJ" "VC"

R에 있는 기본 데이터셋인 ToothGrowth를 불러온다.

3개의 변수와 60개의 관측치가 있다.

supp(보충제 타입)에는 2가지 요인(OJ, VC)이 있다.

ToothGrowth$dose <- factor(ToothGrowth$dose, 
                           levels = c(0.5, 1, 2), 
                           labels = c("D0.5", "D1", "D2"))

str(ToothGrowth)

## 'data.frame':    60 obs. of  3 variables:
##  $ len : num  4.2 11.5 7.3 5.8 6.4 10 11.2 11.2 5.2 7 ...
##  $ supp: Factor w/ 2 levels "OJ","VC": 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ...
##  $ dose: Factor w/ 3 levels "D0.5","D1","D2": 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ...

dose 변수(보충제 투어량)가 3가지 값으로 구성되어 있기 때문에 factor로 변경한다.

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1.이원분류 분산분석이란

#분산분석
두 개의 집단의 평균의 비교할때, T-test를 사용했다.

분산분석은 3개 이상의 집단의 평균을 비교할때 사용한다.

여기서 말하는 집단은 독립변수의 요인 개수이다.

그리고 종속변수의 집단에 따라 분산분석이 나뉘어 진다.

이원분류 분산분석이란,

종속변수(두 개 집단) ~ 독립변수(3개 이상 집단) 일때, 평균을 비교하는 기법이다.

boxplot(len ~ supp * dose, 
        data=ToothGrowth,
        frame = FALSE, 
        col = c("#00AFBB", "#E7B800"),
        ylab="Tooth Length")

boxplot으로 나타내면 위와 같이 구성되어 있다.

interaction.plot

각 변수의 변화를 추적하는 함수이다.

따라서 변수의 추세를 볼 수 있다.

분산분석에서 중요한 함수이다.

interaction.plot(x.factor = ToothGrowth$dose,
trace.factor = ToothGrowth$supp,
response = ToothGrowth$len,
fun = mean,
type = "b",
legend = TRUE,
xlab = "Dose",
ylab="Tooth Length",
pch=c(1,19),
col = c("#00AFBB", "#E7B800"))

-x.factor : 기준이 되는 factor
-trace.factor: 추가 펙터
-response : 분석 변수

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2.전제조건

분산분석을 사용하기 위해서는 독립성, 등분산성을 만족해야 한다.

정규성

표본이 충분하기 때문에(30개 이상) clt와 대수의 법칙에 따라 정규성이 있다.

등분산성

library(car)
leveneTest(len ~ supp*dose, data = ToothGrowth)

## Levene's Test for Homogeneity of Variance (center = median)
##       Df F value Pr(>F)
## group  5  1.7086 0.1484
##       54

모수적 방법을 이용한다. p값이 유의하지 않기 때문에 등분산성이 있다.

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3.Two-way ANOVA test

귀무가설 : 모든 평균들은 다 같다.

대체가설 : 평균들이 모두 같지는 않다. (’평균들이 모두 다르다’가 아니다.)

tooth.aov <- aov(len ~ supp + dose, data = ToothGrowth)

summary(tooth.aov)

##             Df Sum Sq Mean Sq F value               Pr(>F)    
## supp         1  205.4   205.4   14.02             0.000429 ***
## dose         2 2426.4  1213.2   82.81 < 0.0000000000000002 ***
## Residuals   56  820.4    14.7                                 
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

supp(보충제 타입)과 dose(보충제 투어량)의 p값이 유의수준보다 작기 때문에 통계적으로 유의하다.

즉, 보충제 타입에 따라 치아의 길이가 차이가 있고, 또한 투어량에 따라 치아의 길이 차가 있다.

만약, 두 변수(supp, dose)가 독립적이지 않다고 생각하면

더하기를 곱하기로 바꾸어 상호작용한다는 가정을 두어야 한다.

tooth.aov2 <- aov(len ~ supp*dose, data = ToothGrowth)

summary(tooth.aov2)

##             Df Sum Sq Mean Sq F value               Pr(>F)    
## supp         1  205.4   205.4  15.572             0.000231 ***
## dose         2 2426.4  1213.2  92.000 < 0.0000000000000002 ***
## supp:dose    2  108.3    54.2   4.107             0.021860 *  
## Residuals   54  712.1    13.2                                 
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

분산분석 결과 supp:dose(상호작용)는 유의수준이 0.05일때 통계적으로 유의하다.

어떤 모델을 사용할지는 분석가의 판단에 맞긴다.

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4.다중비교

분산분석에서는 어떤 집단이 다르며, 어떠한 차이가 있는지 알 수 없었다.

그 내용을 다중비교를 통해 알 수 있다.(3가지 방법)

TukeyHSD

TukeyHSD(tooth.aov2, which="dose")

##   Tukey multiple comparisons of means
##     95% family-wise confidence level
## 
## Fit: aov(formula = len ~ supp * dose, data = ToothGrowth)
## 
## $dose
##           diff       lwr       upr     p adj
## D1-D0.5  9.130  6.362488 11.897512 0.0000000
## D2-D0.5 15.495 12.727488 18.262512 0.0000000
## D2-D1    6.365  3.597488  9.132512 0.0000027

TukeyHSD 함수는 두 개씩 짝을 지어 비교를 해준다.

투어량에 따른 차이를 볼때, which로 설정해준다.(충전제로 하려면 supp로 바꾼다.)

p adj를 보면 모든 쌍에서 유의수준보다 작아 통계적으로 유의하다.

따라서, 투어량을 바꿀때마다 치아의 길이 차이가 있다고 해석한다.

-diff: 두 집단의 평균 차이
-lwr, upr: 95% 신뢰구간에서 하한값과 상한값
-p adj: 조정된 p값

glht

glht() : 일반화된 선형 가설 검정에 쓰임

glht(model, lincft)
linfct : linear, 함수가 지정되어야 함

library(multcomp)

summary(glht(tooth.aov, linfct = mcp(dose="Tukey")))

## 
##   Simultaneous Tests for General Linear Hypotheses
## 
## Multiple Comparisons of Means: Tukey Contrasts
## 
## 
## Fit: aov(formula = len ~ supp + dose, data = ToothGrowth)
## 
## Linear Hypotheses:
##                Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## D1 - D0.5 == 0    9.130      1.210   7.543 <0.00001 ***
## D2 - D0.5 == 0   15.495      1.210  12.802 <0.00001 ***
## D2 - D1 == 0      6.365      1.210   5.259 <0.00001 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## (Adjusted p values reported -- single-step method)

TukeyHSD와 같은 결과이다.

pairwise.t.test

pairwise.t.test(ToothGrowth$len, ToothGrowth$dose, p.adjust.method = "BH")

## 
##  Pairwise comparisons using t tests with pooled SD 
## 
## data:  ToothGrowth$len and ToothGrowth$dose 
## 
##    D0.5                D1                 
## D1 0.00000001004587510 -                  
## D2 0.00000000000000044 0.00001442603487380
## 
## P value adjustment method: BH

결과를 교차표로 만들어 준다.